2.5 Les moyens de la dialectique

La dialectique une fois installée, de quels moyens dispose-t-elle pour tirer des axiomes l'ensemble des autres énoncés qu'elle a précisément pour fonction de déduire ? C'est là une question qui doit être examinée très attentivement si l'on veut acquérir une juste compréhension de la démarche axiomatique. Mais il est encore trop tôt pour le faire avec tout le soin voulu. Nous nous contenterons, pour l'instant, de quelques remarques rapides.

Les axiomes, par exemple le suivant :

Par un point P, on ne peut mener qu'une parallèle à une droite p

sont des énoncés portant sur des éléments quelconques, de telle et telle catégorie. Dans l'axiome précédent, P est un élément quelconque de la catégorie des «points», p un élément quelconque de la catégorie des «droites». Ces énoncés peuvent naturellement être particularisés, pour tels ou tels éléments particulièrement désignés. Par rapport aux configurations d'éléments dont ils posent ou concèdent la possibilité, les axiomes fixent nos droits et nos devoirs, c'est-à-dire les libertés qu'ils nous reconnaissent et les restrictions, les nécessités qu'ils nous imposent. Ce dont la dialectique reste capable se trouve ainsi délimité : c'est l'exercice de ces libertés dans le cadre de ces nécessités.

Sans vouloir faire ici le compte exact de tout ce que cela signifie, on peut en quelques mots en indiquer certaines parties essentielles : la logique (ou physique) de l'objet quelconque, comportant les jugements d'existence, de compatibilité ou d'exclusion réciproque des groupes d'objets de nature quelconque, la logique de l'acte quelconque énonçant les lois de combinaisons des actions compatibles ou incompatibles, un canon de nos jugements élémentaires concernant l'emploi du vrai et du faux, une certaine charte de nos libertés naturelles, par exemple de notre liberté d'imaginer ou de ne pas prendre en considération, etc.

Or il faut remarquer que la logique, tendant à se constituer en discipline autonome, répond précisément à l'intention de légiférer sur les objets indépendamment de leur nature, sur les classes sans avoir à se préoccuper des propriétés de leurs éléments (si ce n'est celle d'être réunis en une même classe qu'on ne puisse pas confondre avec une autre classe), sur les actes en ne sachant rien de leur réalisation (si ce n'est qu'ils sont libres ou liés, compatibles ou contradictoires), etc.

En ce sens, la technique à laquelle le matériel axiomatique révisé donne prise est une technique strictement logique. Elle répond à la définition que nous avons donnée de la dialectique de la déduction.

Le géomètre axiomaticien entend, disions-nous, être dispensé de tout rappel de l'intuition spatiale, dès qu'il a constitué sa base axiomatique. L'examen précédent vient de nous montrer comment il y réussit, et de quel prix il paie son succès. En bref :

L'installation de la dialectique déductive, dans l'édification axiomatique de la géométrie, présente les caractères de l'installation d'une technique dans un schéma.

Cette affirmation est d'ailleurs aussi valable pour l'édification axiomatique de toute autre discipline.

Dans notre cas, le schéma se présente avec une autonomie déjà si nettement visible que nous n'avons guère pensé à en préciser la signification extérieure. Nous ne pouvons cependant pas nous en dispenser entièrement.

Peut-être le résultat de cet examen ne sera-t-il pas exactement celui qu'un enseignement traditionnel suggère.